Ejercicio 8:

Referencia:
http://www.estadistica.net/Algoritmos2/pau-programacion.pdf

Ejercicio 7:

Ejercicio 6:

Otros ejercicios....

Ejercicio 5:

Ejercicio 4:

Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

Resolución:

Elección de incógnitas

x = nº de lotes de A

y = nº de lotes de B

Función objetivo

f(x, y) = 30x + 50y 

Restricciones:

	A	B	Mínimo
Camisas	1	3	200
Pantalones	1	1	100

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Calcular el valor de la función objetivo

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    Máximo

Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

Ejercicio 3:

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Resolución:

x = nº de lámparas L₁

y = nº de lámparas L₂

Función objetivo: 

f(x, y) = 15x + 10y

Restricciones:

Convertir los tiempos a horas                 

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

 

	L1	L2	Tiempo
Manual	1/3	1/2	100
Máquina	1/3	1/6	80

1/3x + 1/2y ≤ 100            x ≥ 0

                                          y ≥ 0

1/3x + 1/6y ≤ 80

-> Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

-> Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

->Resolvemos gráficamente la in ecuación: 

1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L₁ y 60 del modelo L₁ para obtener un beneficio de 3 750 € .

Ejercicio 2:

1.  Un  artesano  fabrica  collares  y  pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo  80 horas. Por cada collar gana 5 euros y por cada pulsera 4 euros. El artesano desea determinar el número de collares y pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios.

·     Exprésese la función objetivo y las restricciones del problema.
·     Represéntese gráficamente el recinto definido.
·     Obténgase el número de collares y pulseras correspondientes al máximo beneficio.

RESOLUCIÓN:

a)  Sea x = "número de collares" e  y = "número de  pulseras"

                                           x ≥ 0 , y ≥ 0 

    Las restricciones son:      x  + y  ≤  50

                                              2x + y  ≤ 80

La función objetivo que hay que maximizar es: z = f(x, y) = 5x + 4y

b)   Se representa el conjunto de restricciones y la recta 5x + 4 y =  0, que da la dirección de las rectas 5x +  4 y = k

c) El máximo se encuentra en uno de los vértices de la región factible (zona      azul):

Z=F(x,y)=5x+4y        

f(0, 50) = 4 . 50 = 200
f(30, 20) = 5. 30 + 4. 20 =  230

f(40, 0) = 5. 40 = 200

       

El artesano tiene que fabricar 30 collares y 20 pulseras para obtener el beneficio máximo de 230 euros.

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN

Ejercicio 1:

En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

Resolución:

Elección de las incógnitas.

x = X

y = Y

Función objetivo

f(x,y) = 10x + 30y

Restricciones

	X	Y	MÍNIMO
A	1	5	15
B	5	1	15

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

Hallar el conjunto de soluciones factibles

Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

Calcular el valor de la función objetivo

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   Mínimo

El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2

Video:

https://www.youtube.com/watch?v=MKlUj_GN6mY&feature=youtu.be

Referencias:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/pl/programacion-lineal-3.html?fbclid=IwAR3psbE2Yue32MmOoaK1DIt7BnZc1V27bLBfk47PVAC8_GNotDBqwImcmZM

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebralineal/pl/programacion-lineal-1.html

https://www.plandemejora.com/ejercicios-resueltos-de-programacion-lineal-por-el-metodo-grafico/

https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/programacion-lineal-metodo-grafico/

APLICACIONES EN LA VIDA DIARIA

APLICACIÓN EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA VIDA DIARIA

MARKETING

La Programación Lineal se utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones que se nos ofrecen (televisión, radio, periódicos, revistas, etc.) de forma que nuestros productos tengan la mayor difusión posible. En otros casos, las restricciones no serán presupuestarias sino que vendrán dadas por la disponibilidad de cada medio y por las políticas publicitarias de nuestra propia empresa.

FINANZAS

Un problema al que se tienen que enfrentar de forma habitual los directivos de bancos, fondos de inversión, y compañías de seguros es la selección de una serie de inversiones concretas de entre la gran variedad de alternativas existentes en el mercado. Por norma general, el objetivo de estos directivos es maximizar los beneficios esperados de estas inversiones, las cuales se ven sometidas a un conjunto de restricciones, algunas legales y otras provenientes de la propia empresa (como puede ser el nivel de riesgo que se desea asumir o la cantidad máxima que se permite invertir).

LOGÍSTICA

El llamado problema del transporte se refiere al proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles. El objetivo suele ser minimizar costes de transporte, y las restricciones vienen dadas por las capacidades productivas de cada origen y las necesidades de cada destino.

Referencias:

https://inveoperaciones.wordpress.com/aplicaciones-de-la-programacion-lineal/

DEFINICIÓN DEL TEMA

 PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un método eficiente para determinar una decisión óptima entre un gran número de decisiones posibles. En ella se maximiza o minimiza una función lineal,  que en el desarrollo se le denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales.

CARACTERÍSTICAS:

• Proporcionalidad: Las variables y la función objetivo deben ser lineales.
• Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable objetivo.
• Divisibilidad: Las soluciones no deben ser necesariamente números enteros.
• Optimalidad: La solución  óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles.

HISTORIA:

->  La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la SEGUNDA GUERRA MUNDIAL para la planificación de los gastos y retornos, a din de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Esta se mantuvo en reserva hasta los años de 1947. En la posguerra, se dio uso en la planificación diaria de las industrias.

->  En 1947  George Dantzing dio por inicio de una técnica para su desarrollo llamado "Algoritmo simplex" junto a John Von Neumann con su  método de la teoría de la dualidad.

->  En 1979 Leonid Khachiyan diseño el llamado de  Algoritmo de Elipsoide, fue mediante ello que la programación lineal es resoluble de manera eficiente, en tiempo polinomial.

-> En 1984 Narendra Karmarkar se introduce un nuevo método llamado "Punto interior", constituyendo  un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.

Referencias:

https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal
https://inveoperaciones.wordpress.com/aplicaciones-de-la-programacion-lineal/
https://www.monografias.com/trabajos104/aplicaciones-programacion-lineal/aplicaciones-programacion-lineal.shtml

INICIO

PRESENTACIÓN

Somos alumnas de la Universidad Privada del Norte y es un agrado presentarles mediante este medio  el tema  de la programación lineal y sus aplicaciones en  diferentes  situaciones de la vida diaria .Por lo que brindaremos los siguientes objetivos.

OBJETIVOS

• Captar la idea de la programación lineal y sus posibilidades de aplicación de problemas prácticos 
• Dominar la terminología de la programación lineal 
• Saber representar la función objetivo y comprender como aumentan o disminuye las rectas de nivel para comprender  el máximo o el mínimo