Ejercicio 3:

Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

Resolución:

x = nº de lámparas L₁

y = nº de lámparas L₂

Función objetivo: 

f(x, y) = 15x + 10y

Restricciones:

Convertir los tiempos a horas                 

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

 

	L1	L2	Tiempo
Manual	1/3	1/2	100
Máquina	1/3	1/6	80

1/3x + 1/2y ≤ 100            x ≥ 0

                                          y ≥ 0

1/3x + 1/6y ≤ 80

-> Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

-> Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

->Resolvemos gráficamente la in ecuación: 

1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Estos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 210 del modelo L₁ y 60 del modelo L₁ para obtener un beneficio de 3 750 € .